Intersezione tra due rette distinte
Dimostriamo che
Due rette distinte, r e s, hanno al massimo un punto in comune
Dimostrazione per assurdo
Supponiamo (per assurdo) che le rette distinte r e s abbiano più di un punto in comune.
Supponiamo che r e s abbiano due punti in comune (non c'è bisogno di esagerare, bastano due punti); chiamiamoli A e B.
Quindi il punto A appartiene alle rette r e s; anche il punto B appartiene alle rette r e s.
Allora per i punti A e B passano due rette distinte (le rette r e s), ma questo è assurdo per l'assioma che assicura che per due punti distinti passa sempre una e una sola retta.
Quindi non possiamo supporre che le rette r e s abbiano due punti in comune.
Pertanto, è stato dimostrato che due rette distinte r e s hanno al massimo un punto in comune.
Al massimo un punto significa che ci sono due possibilità:
o hanno esattamente un punto in comune e allora si dice che sono incidenti
o non hanno nessun punto in comune e allora si dice che sono parallele (distinte)