Il numero e
Come ho detto in classe, "e" non è una lettera, "e" è un numero, ma non un numero qualsiasi, un numero particolare.
Il numero e non è molto famoso al di fuori del mondo matematico, ma è un numero fondamentale e ricorre in molte applicazioni, comparendo in diversi contesti. E' una delle costanti più importanti della matematica.
Come π, è un numero irrazionale, cioè un numero che presenta infinite cifre dopo la virgola che si susseguono apparentemente senza una regola.
Come π, è un numero trascendente perché non esiste un’equazione polinomiale a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione.
e = 2,71828 18284 59045...
Essendo e un numero irrazionale, non è possibile scrivere il suo valore esatto. Le frazioni che meglio approssimano e sono 87/32 e, considerando numeratore e denominatore di 3 cifre, 878/323.
Ma si ottiene e anche come limite della successione Sn=(1+1/n)n o come la serie:
I primi 160 valori della successione, crescente, che converge a e : Sn=(1+1/n)n . Più n è grande, più quel numero si avvicina ad e.
Il primo riferimento ad e risale al 1618 ed è contenuto nella tavola di un'appendice di un lavoro sui logaritmi di John Napier (Nepero). Nella tavola non appare la costante, ma un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante.
La prima espressione di e come costante è stata trovata da Jakob Bernoulli, come limite della successione Sn=(1+1/n)n
Leonhard Euler (Eulero) è stato il primo ad utilizzare la lettera e per questa costante, nel 1727; la sua prima comparsa avviene nella Mechanica di Eulero (1736). Per alcuni anni è stata usata la lettera c, ma poi e è diventato il simbolo definitivo per indicare il numero di Nepero.
Non si conoscono con certezza i motivi della scelta della lettera e. Potrebbe essere stata scelta perchè è l'iniziale della parola esponenziale oppure perchè era la prima lettera non utilizzata (dopo a, b, c, d) per indicare oggetti matematici, l'ultima prima di f e g, utilizzate per le funzioni.
Logaritmi ed esponenziali
Nepero si è imbattuto in e, studiando i logaritmi, che possiamo definire come un'invenzione geniale per trasformare la moltiplicazione di numeri molto grandi in addizione.
Il numero di Nepero è una delle basi che vengono più spesso utilizzate per i logaritmi. Quando la base dei logaritmi è e, i logaritmi si dicono naturali o neperiani e si indicano con ln; in questo caso molte formule fondamentali assumono una forma semplificata.
e è anche una delle due sole basi che le calcolatrici utilizzano per i logaritmi: la base 10 e la base e, ma applicando la formula del cambiamento di base è possibile utilizzare una qualsiasi altra base.
Il logaritmo naturale può essere definito come la funzione inversa dell’esponenziale, intendendo che e elevato alla logaritmo naturale di x è uguale ad x, cioè il logaritmo naturale di x è l'esponente a cui elevare e per avere x.
Applicando le proprietà dei logaritmi è possibile rappresentare una funzione esponenziale di base a qualsiasi come funzione esponenziale di base e.
Grafico della funzione logaritmo naturale (blu), grafico della funzione logaritmo decimale (rosso) e loro intersezioni con la retta y = 1
Un esempio
Nel testo "50 grandi idee di matematica" di Tony Crilly, c'è un esempio molto interessante sulla capitalizzazione.
Si considera l'investimento di 1 euro al tasso di interesse del 100% annuo. Dopo un anno, si avranno 2 euro (= 1 di capitale + 1 di interessi).
Se il tasso di interesse è del 50%, ma applicato separatamente ai due semestri, dopo il primo semestre si hanno 1,50 euro e alla fine dell'anno, aggiungendo i 75 centesimi del secondo semestre, si raggiungono 2,25 euro.
Se il tasso di interesse è del 25%, ma applicato separatamente ai quattro trimestri, con un calcolo analogo, alla fine dell'anno si raggiungono 2,44 euro.
Quindi, suddividendo l'anno in parti più piccole, aumenta la cifra, ma questo aumento non continua in modo indefinito... a un certo punto, si stabilizza su un valore costante che è e.
Possiamo dire che e rappresenta la quantità fino a cui cresce 1 euro in un anno, se la capitalizzazione avviene in modo continuo.
L'importanza di e
Il numero e compare spesso nei fenomeni in cui c'è qualcosa che cresce (crescita economica, aumento della popolazione...), ma non solo.
Si ritrova e anche in problemi e applicazioni di teoria della probabilità.
Troviamo e anche in statistica, nel grafico della "curva a campana" o "gaussiana" della distribuzione normale, e in ingegneria (nella curva del cavo di un ponte sospeso).
Incontriamo e anche nello studio del decadimento radioattivo, della magnitudo di un terremoto, della diffusione di un’epidemia.
Il numero e compare anche in quella che viene ritenuta la formula più bella della matematica, l'identità di Eulero:
Tramite la formula di Eulero e è legato anche alle funzioni trigonometriche.
La formula di Eulero (immagine a fianco) è una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari, e che permette la definizione del logaritmo per argomenti complessi.
L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.
Una poesia per ricordare le prime cifre di e
Giorgio Rabbeno - 1935 - ha scritto una poesia per ricostruire, attraverso il numero di lettere delle parole utilizzate, le prime 13 cifre di e.